Question

設(shè)雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，且△PF₁F₂的面積為6，則點P的坐標(biāo)為

(

6 5

5

，2)

．

Answer 1

分析：由雙曲線方程，算出焦點F₁、F₂的坐標(biāo)，從而得到|F₁F₂|=6．根據(jù)△PF₁F₂的面積為6，算出點P的縱坐標(biāo)為2，代入雙曲線方程即可算出點P的橫坐標(biāo)，從而得到點P的坐標(biāo)．

解答：解：∵雙曲線的方程是

x2

4

-

y2

5

=1，
∴a²=4且b²=5，可得c=

a2+b2

=3
由此可得雙曲線焦點分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）
設(shè)雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點P坐標(biāo)為（m，n），
可得△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|•n=6，
即

1

2

×6×n=6，解得n=2
將P（m，2）代入雙曲線方程，得

m2

4

-

4

5

=1，解之得m=

6 5

5

．
∴點P的坐標(biāo)為(

6 5

5

，2)
故答案為(

6 5

5

，2)

點評：本題給出雙曲線上一點與焦點構(gòu)成面積為6的三角形，求該點的坐標(biāo)，著重考查了三角形面積公式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．