Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

（Ⅰ）若在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，不等式。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；

【解析】試題分析：（1）首先利用切線的斜率建立方程，求出；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值點(diǎn)，極值點(diǎn)介于之間，由此求得的取值范圍；（2）先用分析法，將原不等式等價(jià)變形為，利用導(dǎo)數(shù)求出左邊函數(shù)的最小值和右邊函數(shù)的最大值即可證得原不等式成立.

試題解析：

（1） 因?yàn)?/span>，所以

又據(jù)題意，得，所以，所以

所以，

所以

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).

所以函數(shù)僅當(dāng)時(shí)，取得極值

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）當(dāng)時(shí)，，即為.

令，則.

再令，則.

又因?yàn)?/span>，所以.

所以在上是增函數(shù).

又因?yàn)?/span>.

所以當(dāng)時(shí)，.

所以在區(qū)間上是增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，，又，故

令，則.

因?yàn)?/span>，所以.

所以當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

又，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以，即.