Question

【題目】數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，（為常數(shù)，）．

（1）求；

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列滿足：可以從中取出無限多項(xiàng)并按原來的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）由，得，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和得答案；

（2）由數(shù)列是等比數(shù)列，得．結(jié)合已知求出，，代入可得；

（3）當(dāng)時(shí)，由（1）及，得，即數(shù)列是一個(gè)無窮等差數(shù)列．當(dāng)，滿足題意．當(dāng)時(shí)，利用反證法證明，從數(shù)列不能取出無限多項(xiàng)并按原來的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列．

（1）由，得．

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，

則；

（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，則．

∵，，

∴，．

∴，得；

（3）當(dāng)時(shí)，由（1）及，得，

即數(shù)列是一個(gè)無窮等差數(shù)列．

∴當(dāng)，滿足題意．

當(dāng)時(shí)，∵，，即．

下面用反證法證明，當(dāng)，從數(shù)列不能取出無限多項(xiàng)并按原來的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列．

假設(shè)存在，從數(shù)列可以取出無限多項(xiàng)并按原來的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列．不妨記為，

設(shè)數(shù)列的公差為．

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列，則．

∵，

∴當(dāng)，即，即時(shí)，，這與矛盾．

（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴數(shù)列是各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，則．

∵，∴，與矛盾．

綜上所述，是唯一滿足條件的的值．