Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證： .

Answer 1

【答案】（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）將問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍的問題。可構(gòu)造函數(shù)，經(jīng)分類討論得到恒成立時(shí)的取值范圍即可。（2）先證明對于任意的正整數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，結(jié)合（1）③的結(jié)論，當(dāng)， 時(shí)在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。

試題解析：

（1）令，

則，

令，

則

①當(dāng)時(shí)，有 ，于是在上單調(diào)遞增，從而，

因此在上單調(diào)遞增，

所以，符合題意。

②當(dāng)時(shí)，有 ，于是在上單調(diào)遞減，從而，

因此在上單調(diào)遞減，

所以，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，令，

則當(dāng)時(shí)， ，于是在上單調(diào)遞減，

從而，

因此在上單調(diào)遞減，

所以，而且僅有，不合題意.

綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）對要證明的不等式等價(jià)變形如下：

對于任意的正整數(shù)，不等式恒成立，

即恒成立，

變形為恒成立，

在（1）③中，令， ，

則得在上單調(diào)遞減，

所以，

即,

令，則得成立.

當(dāng)時(shí)，可得.

即，

所以成立。