Question

【題目】已知

(I)判斷f(x)的奇偶性并證明

(Ⅱ)若a>1,判斷f(x)的單調(diào)性并用單調(diào)性定義證明;

(Ⅲ)若,求實(shí)數(shù)x的取值范圍

Answer 1

【答案】(I)見解析；(II) 見解析；(III)

【解析】試題分析：(1)求解即可.

(2)運(yùn)用單調(diào)性證明則f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga.判斷符號(hào)即可.
(3)根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化－1＜x－3≤求解.

試題解析：(I)由得，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

f(x)在(－1,1)上為奇函數(shù)，證明如下：

，

∴f(x)為(－1,1)上的奇函數(shù)．

(II) 若，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，證明如下：

設(shè)－1＜x1＜x2＜1，

則f(x1)－f(x2)＝loga－loga＝loga.

又－1＜x1＜x2＜1，

∴(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)＜0，

即0＜(1＋x1)(1－x2)＜(1－x1)(1＋x2)，

∴0＜＜1，∴l(xiāng)oga＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．

(III)∵f(x)為(－1,1)上的奇函數(shù)，

∴f(x－3) ≤－f(－)＝f()．

若，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，

∴－1＜x－3≤，得2＜x≤.

若，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，

∴≤x－3＜1，得≤x＜4.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為；

當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為

點(diǎn)晴:本題屬于對(duì)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的考察，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時(shí)，有，事實(shí)上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)有；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.本題中的易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視定義域(－1,1).