Question

若拋物線y²=2px（p＞0）上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為8，它到焦點(diǎn)的距離為9，
（1）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)
（2）并求直線MF的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合題意建立關(guān)于p的等式解出p=2，即可得出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）利用（1）中求出的拋物線方程，算出M的坐標(biāo)為（8，±4

2

），進(jìn)而得到直線MF的斜率，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)即可得到直線MF的方程．

解答：解：（1）拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（

p

2

，0），準(zhǔn)線為x=-

p

2

．
∵點(diǎn)M橫坐標(biāo)為8，到焦點(diǎn)的距離為9，
∴根據(jù)拋物線的定義，可得MF=8+

p

2

=9，解得p=2．
因此，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）．
（2）由（1）得拋物線方程為y²=4x，
設(shè)M（8，y₀），得y₀²=4×8=32，得y₀=±4

2

∴M坐標(biāo)為（8，±4

2

），直線MF的斜率k=

±4 2 -0

8-1

=±

4 2

7

．
直線MF的方程方程為y=±

4 2

7

（x-1），
化簡(jiǎn)得y=

4 2

7

x-

4 2

7

或y=-

4 2

7

x+

4 2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線方程并依此求直線方程．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的基本量與基本形式等知識(shí)，屬于中檔題．