Question

已知橢圓C的焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點P(-1，

2

2

)在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線y²=2px（p＞0）與橢圓C相交于點M、N，當△OMN（O是坐標原點）的面積取得最大值時，求p的值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及參數(shù)a，b，c的關系即可得出；
（2）利用橢圓和拋物線的對稱性，可設出點P的坐標，進而表示出三角形的面積，利用基本不等式的性質及點在橢圓上即可得出．

解答：解：（1）依題意，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|=

0+( 2 2 )2

+

22+( 2 2 )2

=2

2

，∴a=

2

，c=1，∴b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）根據(jù)橢圓和拋物線的對稱性，設M（x₀，y₀）、N（x₀，-y₀）（x₀，y₀＞0），
△OMN的面積S=

1

2

x0×(2y0)=x0y0，
∵M（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

2

+y02=1，
∴1=

x02

2

+y02≥2

x02 2 •y02

=

2

x0y0，等號當且僅當

x0

2

=y0時成立，
解

x02 2 +y02=1 x0 2 =y0

（x₀，y₀＞0）得

x0=1 y0= 2 2

，M（x₀，y₀）即M(1，

2

2

)．
∵點M在拋物線y²=2px上，∴(

2

2

)2=2p×1，解得p=

1

4

．
∴p=

1

4

．

點評：熟練正確圓錐曲線的定義及其性質、基本不等式的性質是解題的關鍵．