Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點(diǎn)為F(0，-

2

)，點(diǎn)M(1，

2

)在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△MAB的面積
（Ⅲ）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，若∠PMF=90°，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點(diǎn)為F(0，-

2

)，故可設(shè)橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，再將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入即可的a²的值，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可
（Ⅱ）先將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，解得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出|AB|，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算M到直線AB的距離d，最后由三角形面積公式S△MAB=

1

2

|AB|•d計(jì)算△MAB的面積即可
（Ⅲ）先由∠PMF=90°得直線PM的斜率，從而寫出直線PM的方程，再代入橢圓的方程，即可解得P點(diǎn)的坐標(biāo)，注意此直線與橢圓有兩個交點(diǎn)M，P

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點(diǎn)為F(0，-

2

)，
可設(shè)橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1
將點(diǎn)M(1，

2

)代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1
解得a²=4或a²=1（舍去）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

+

x2

2

=1
（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程

2x-y-2=0 y2 4 + x2 2 =1

解得

x1=0 y1=-2

，

x2= 4 3 y2= 2 3

即A（0，-2），B（

4

3

，

2

3

）
∴|AB|=

( 4 3 -0)2+( 2 3 +2)2

=

4 5

3

點(diǎn)M(1，

2

)到直線l的距離d=

|2- 2 -2|

4+1

=

10

5

∴S△MAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×  

4 5

3

× 

10

5

=

2 2

3

（Ⅲ）設(shè)直線FM的斜率為k，則k=

2 -(- 2 )

1-0

=2

2

∵直線PM垂直于直線FM
∵直線PM的斜率為-

1

k

=-

2

4

故直線PM的方程為y=-

2

4

（x-5）
代入橢圓方程得17x²-10x-7=0，解得x=1或x=-

7

17

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

17

，

23 2

17

）

點(diǎn)評：本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，特別是直線與橢圓相交時(shí)如何求弦長和三角形面積．