Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=1，b=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若2a+b=-3，試確定f（x）的單調(diào)性；
（3）記，且g（x）在[-1，1]上的最大值為M，證明：．

Answer 1

解：（1）若a=1，b=-1，則f（x）=（x²+x-1）e^x
有f'（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=e^x（x²+3x）
令f'（x）=0得x₁=-3，x₂=0（1分）
∵當x∈（-∞，-3）時f'（x）＞0，當x∈（-3，0）時f'（x）＜0，當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0
∴當x=-3時，函數(shù)f（x）有極大值，，（2分）
當x=0時，函數(shù)f（x）有極小值，f（x）_極小值=f（0）=-（13分）
（2）∵2a+b=-3即b=-2a-3
又f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=e^x[x²+（2+a）x+（a+b）]
∴f'（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]（5分）
當-3-a=1即a=-4時，f'（x）=e^x（x-1）²≥0
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；（6分）
當-3-a＞1，即a＜-4時，由f'（x）＞0得x＞-3-a或x＜1，
由f'（x）＜0得1＜x＜-3-a；（7分）
當-3-a＜1，即a＞-4時，由f'（x）＞0得x＜-3-a或x＞1，
由f'（x）＜0得-3-a＜x＜1；（8分）
綜上得：當a=-4時，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＜-4時，函數(shù)f（x）在（-∞，1）和（-3-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-3-a）上單調(diào)遞減-（9分）
當a＞-4時，函數(shù)f（x）在（-∞，-3-a）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-3-a，1）上單調(diào)遞減．（10分）
（3）根據(jù)題意=|x²+ax+b|，
∵g（x）在[-1，1]上的最大值為M，
∴g（-1）≤M，g（0）≤M，g（1）≤M
即|1-a+b|≤M，|b|≤M，|1+a+b|≤M（12分）
2=|（1-a+b）+（1+a+b）-2b|≤|1-a+b|+|1+a+b|+|2b|≤4M
∴（17分）（其它解法請參照給分）
分析：（1）先把a=1，b=-1代入函數(shù)解析式，再研究f′（x）的符號，利用導數(shù)求解f（x）在R上的極值問題即可．
（2）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（3）先根據(jù)題意=|x²+ax+b|，及g（x）在[-1，1]上的最大值為M，得到：g（-1）≤M，g（0）≤M，g（1）≤M再結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可求得．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．研究單調(diào)性的關(guān)鍵是導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．