Question

如圖所示，在圓錐PO中，已知PO=

2

，⊙O的直徑AB=2，點C在弧AB上，且∠COB=60°，則二面角B-PA-C的余弦值是

6

3

．

Answer 1

分析：過點C作CD⊥AB，垂足為D，過點D作DF⊥PA，垂足為F，連接CF，可證∠CFD為二面角B-PA-C的平面角，求出DF=

6

2

，CF=

3 4 + 6 4

=

3

2

，即可求得二面角B-PA-C的余弦值．

解答：解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，過點D作DF⊥PA，垂足為F，連接CF，則
∵PO⊥圓O，CD?圓O，∴PO⊥CD
∵AB∩PO=O，∴CD⊥平面PAB
∵DF⊥PA，∴CF⊥PA
∴∠CFD為二面角B-PA-C的平面角
∵⊙O的直徑AB=2，點C在弧AB上，且∠COB=60°
∴CD=

3

2

，AD=

3

2

∵PO=

2

，∴PA=

3

由AD×PO=PA×DF，可得DF=

6

2

∴CF=

3 4 + 6 4

=

3

2

∴cos∠CFD=

DF

CF

=

6

3

故答案為：

6

3

點評：本題考查二面角的平面角，解題的關(guān)鍵是正確作出二面角的平面角，利用等面積計算DF的長，屬于中檔題．