Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) ，求的取值范圍;

Answer 1

【答案】（1）極小值（2）

【解析】試題分析：(1)當(dāng)時(shí)，代入求導(dǎo)得出結(jié)果(2)對(duì)求導(dǎo)，設(shè)，在對(duì)求導(dǎo)，討論、時(shí)的單調(diào)性，確定取得極限時(shí)的值，然后求，即可算出結(jié)果

解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得，故上單調(diào)遞增，同理可得在上單調(diào)遞減，

故在處有極小值；

（2）依題意可得，有兩個(gè)不同的實(shí)根.

設(shè)，則有兩個(gè)不同的實(shí)根,，

若，則，此時(shí)為增函數(shù)，故至多有1個(gè)實(shí)根，不符合要求；

若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為

,

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故要使有兩個(gè)實(shí)根，則，得. （或作圖象知要使有兩個(gè)實(shí)根，則）

設(shè)的兩根為 ，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).

故為的極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn), 符合要求.

綜上所述：的取值范圍為.（分離變量的方法也可以）