Question

（本小題滿分12分）
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，
∠APB＝2θ,且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．
（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩
點(diǎn),試確定λ的范圍,使·＝0,其中點(diǎn)
O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，方程為：
（2）．由①②知

解法一：（1）在中，，即，
，即（常數(shù)），
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．
方程為：．
（2）設(shè)，
①當(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，，在雙曲線上．
即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308231291.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
②當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為．
由得：，
由題意知：，
所以，．
于是：．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308403530.gif" style="vertical-align:middle;" />，且在雙曲線右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）設(shè)，，的中點(diǎn)為．
①當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308231291.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以；
②當(dāng)時(shí)，．
又．所以；
由得，由第二定義得
．
所以．
于是由得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308824255.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，又，
解得：．由①②知．