Question

   如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、 ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

（1）   求證：AD^BC;

（2）   求二面角B－AC－D的大小;

（3）   在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：

（1）   取BC的中點(diǎn)O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD………………3分

（2）   作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，………………4分

因?yàn)锳B＝AC＝BC＝

\M是AC的中點(diǎn)，且MN¤¤CD，

則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，………………6分

由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos………………7分

（3）   設(shè)E是所求的點(diǎn)，作EF^CBD于F，連FD

\ ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，………………8分

則ÐEDF＝30°  設(shè)EF＝x，則CF＝x，F(xiàn)D＝，………………10分

\tanÐEDF＝＝＝

解得x＝，則CE＝x＝1

故線段AC上存在E點(diǎn)，且CE＝1時(shí)，ED與面BCD成30°角  ………………12分

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略