Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1．過(guò)軸上一點(diǎn) 為常數(shù)，且的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）由題意可得，從而得到橢圓方程；

（2）對(duì)斜率分類(lèi)討論，斜率存在時(shí)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程可得，可得，進(jìn)而可得直線(xiàn)的方程為，求得，表示圓的方程，可得定點(diǎn).

（1）由題意，得，解得，所以，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)顯然不符合題意；

所以設(shè)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，

又準(zhǔn)線(xiàn)方程為，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由得，，

即

所以，，

所以，

從而直線(xiàn)的方程為，（也可用點(diǎn)差法求解）

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以以為直徑的圓的方程為，

即，

因?yàn)樵撌綄?duì)恒成立，令，得，

所以以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．