Question

（2012•馬鞍山二模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(x+

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)+f(x)=0，且函數(shù)y=f(x-

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)為奇函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)f（x）的最小正周期是

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；②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(-

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，0)對稱；③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．其中真命題的個數(shù)是（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：題目中條件：f（x+

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）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，從而可判斷函數(shù)的對稱軸．

解答：解：①：由題意可得f（x+3）=-f（x+

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）=f（x）則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為3，故①錯誤
②：由y=f（x-

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）是奇函數(shù)可得其圖象關(guān)于原點（0，0）對稱，由y=f（x-

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）向左平移

3

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個單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-

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，0）對稱，故②正確
③：由②知，對于任意的x∈R，都有f（-

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-x）=-f（ -

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4

+x），用

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4

+x代換x，可得：f（-

3

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-x）+f（x）=0
∴f（-

3

2

-x）=-f（x）=f（x+

3

2

）對于任意的x∈R都成立．令t=

3

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+x，則f（-t）=f（t），則可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故③正確
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性對稱性等函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及一些常見結(jié)論的變形．