Question

 （本小題滿分１４分）

定義，，

（Ⅰ）令函數(shù)的圖象為曲線，曲線與軸交于點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)向曲線作切線，切點(diǎn)為，設(shè)曲線在點(diǎn)之間的曲線段與線段所圍成圖形的面積為，求的值；

（Ⅱ）令函數(shù)的圖象為曲線，若存在實(shí)數(shù)使得曲線在處有斜率為-8的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng) 且時(shí)，證明。

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

 解：（Ⅰ）∵

∴，

故A(0，9)，                                              （1分)

又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線作切線，切點(diǎn)為B(n，t) (n>0) ，=2x-4． 

∴，

解得B( 3，6 ) ，                                          （2分)

∴．          （4分）

（Ⅱ），

設(shè)曲線在處有斜率為-8的切線， 

又由題設(shè)log₂(x³+ax²+bx+1)>0 , =3x²+2ax+b,

∴存在實(shí)數(shù)b使得有解，        （6分)

由（1）得，代入（3）得，（7分)

∴由有解，

得2×(-4)²+a×(-4)+8>0或2×(-1)²+a×(-1)+8>0,

∴a<10或， ∴．                               （9分）

（Ⅲ）令，由，          （10分）

又令， ∴，

∵在連續(xù)   ∴在單調(diào)遞減，            （12分）

∴當(dāng)時(shí)有，，∴當(dāng)時(shí)有，，

∴在單調(diào)遞減，                                    （13分）

∴時(shí)，有，∴yln(1+x)>xln(1+y),

∴，

∴當(dāng) 且時(shí)， ．                 （14分）