Question

【題目】如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.

（Ⅰ）若，求曲線的方程；

（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸進線上；

（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線,若直線過點交曲線于點，求與面積之和的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)和；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).

【解析】

試題分析：（1）由已知條件布列關于的方程組，即可得到曲線的方程；（2）設直線代入，得到，從而可得，所以弦的中點必在曲線的另一條漸進線上；（3）由題意可知：和面積之和等于面積的兩倍，利用設而不求法表示，整體換元結合均值不等式即可求得面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ），

則曲線的方程為和

（Ⅱ）曲線的漸近線為，如圖，設直線，

則，

設點，則，

，

，即點在直線上.

（Ⅲ）因為的中點為原點，所以和面積之和等于面積的兩倍，由（Ⅰ）知，曲線，點，

設直線的方程為，

，

設由韋達定理：，

所以，

到直線距離，

，

令，

，

，當且僅當即時等號成立，

所以時，

與面積之和的最大值為