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        1. 如圖,已知橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)A、B,弦EF與AB交于點(diǎn)D,O為中心,且|
          OD
          |=1,
          DF
          =2
          ED
          ,∠FDO=
          π
          4
          ,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決以下問題:
          (1)求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍;
          (2)若D為橢圓的焦點(diǎn),求橢圓的方程.
          分析:(1)建立如圖平面直角坐標(biāo)系,則D(-1,0)弦EF所在的直線方程為y=x+1,設(shè)橢圓方程
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ,將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用長(zhǎng)軸的表示的函數(shù)式即可求得范圍,從而解決問題.
          (2)利用D為橢圓的焦點(diǎn),則c=1,b2=a2-1結(jié)合(1)知:∴a2=9-a2  從而求出a,b的值,最后寫出橢圓方程即可.
          解答:解:(1)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則D(-1,0)弦EF所在的直線方程為y=x+1
          設(shè)橢圓方程
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),
          DF
          =2
          ED
          ,知:y1+y2=-y1,且y1y2=-2y12 聯(lián)立方程組
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          y=x+1

          消去x得:(a2+b2)y2-2b2y+b2-a2b2=0
          由題意知:a>1,∴△=4b4=4(a2+b2)(b2-a2b2)>0
          由韋達(dá)定理知:y1+y2=
          2b 2
          a 2+b 2
          =-y1,y1y2=
          b 2-a 2 2
          a 2+b 2
          =-2y12,
          消去y1得化簡(jiǎn)整理得:b2=
          a 2(a 2-1)
          9-a 2
          ∵0<b2<a2,∴0<
          a 2(a 2-1)
          9-a 2
          <a2解得:
          1<a2<5
          ∴2<2a<2
          5
            即:橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為(2,2
          5
          ).
          (2)若D為橢圓的焦點(diǎn),則c=1,b2=a2-1   
          由(1)知:b2=
          a 2(a 2-1)
          9-a 2
          =a2-1,
          ∴a2=9-a2∴a2=
          9
          2
          ,b2=
          7
          2
          ∴橢圓方程為:
          x2
          9
          2
          +
          y2
          7
          2
          =1
          點(diǎn)評(píng):本題以橢圓為載體,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可解.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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          ,過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線,交橢圓于兩點(diǎn)M,N,設(shè)∠F2F1M=α(0≤α<π)當(dāng)α取什么值時(shí),|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)?
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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,短軸兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2 的正方形.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)若C,D分別為長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P,判斷
          OM
          OP
          是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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