Question

已知點(diǎn)是雙曲線和圓的一個(gè)交點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為

A．           B．           C．2                D．

 

Answer 1

【答案】

A              

【解析】

試題分析：∵雙曲線方程為，

∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=，

∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²

∴該半徑等于c，且圓經(jīng)過F₁和F₂．

∵點(diǎn)P是雙曲線與圓x²+y²=a²+b²的交點(diǎn)，

∴△PF₁F₂中，|OP|=c=|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°，∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°，

∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=c，|PF₂|=c，

根據(jù)雙曲線定義，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（-1）c，

∴雙曲線的離心率e=，故選A。

考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的性質(zhì)。

點(diǎn)評：中檔題，在已知焦點(diǎn)三角形中的角度關(guān)系下求雙曲線的離心率，往往需要探究三角形的特征，結(jié)合雙曲線的定義，建立方程（組）加以解答。