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          設(shè)函數(shù)fn(x)=-1+
          x
          1!
          +
          x2
          2!
          +…+
          xn
          n!
          ，(x∈R，n∈N*)
          （1）證明對每一個n∈N*，存在唯一的xn∈[
          1
          2
          ，1]          ，滿足fn（xn）=0；
          （2）由（1）中的xn構(gòu)成數(shù)列{xn}，判斷數(shù)列{xn}的單調(diào)性并證明；
          （3）對任意p∈N*，xn，xn+p滿足（1），試比較|xn-xn+p|與
          1
          n
          的大�。�
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）本小題即證明函數(shù)在[
          1
          2
          ，1]內(nèi)存在唯一的零點，由零點判定定理可得零點所在區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得零點的唯一性；
          （2）只需判斷xn與xn+1的大小關(guān)系即可，由（1）可知fn（x）在（0，+∞）上遞增，根據(jù)fn(xn+1)=-1+xn+1+
          x
          2
          n+1
          2!
          +…+
          x
          n
          n+1
          n!
          ，及fn+1(xn+1)=-1+xn+1+
          x
          2
          n+1
          2!
          +…+
          x
          n
          n+1
          n!
          +
          x
          n+1
          n+1
          (n+1)!
          =fn(xn+1)+
          x
          n+1
          n+1
          (n+1)!
          =0          ，可判斷fn（xn+1）與0=fn（xn）的大小關(guān)系，再根據(jù)fn（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性可作出xn與xn+1的大小比較；
          （3）由數(shù)列{xn}單調(diào)性可知xn-xn+p＞0，由xn，xn+p滿足（1）知，fn(xn)=-1+xn+
          x
          2
          n
          2!
          +…+
          x
          n
          n
          n!
          =0          ，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+
          x
          2
          n+p
          2!
          +…+
          x
          n
          n+p
          n!
          +
          x
          n+1
          n+p
          (n+1)!
          +…+
          x
          n+p
          n+p
          (n+p)!
          =0          ，兩式相減：并結(jié)合xn+p-xn＜0，以及xn∈[
          1
          2
          ，1]          可表示出xn-xn+p，利用不等式進(jìn)行放縮可證明；
          解答：解：（1）f′n(x)=1+x+
          x2
          2!
          +…+
          xn-1
          (n-1)!
          ，
          顯然，當(dāng)x＞0時，f'n（x）＞0，
          故fn（x）在（0，+∞）上遞增．
          又fn(1)=-1+1+
          1
          2!
          +…+
          1
          n!
          ≥0          ，fn(
          1
          2
          )=-1+
          1
          2
          +
          (
          1
          2
          )          2
          2!
          +…+
          (
          1
          2
          )          n
          n!
          ＜-1+
          1
          2
          +(
          1
          2
          )2+…+(
          1
          2
          )n=-1+
          1
          2
          (1-(
          1
          2
          )          n          )
          1-
          1
          2
          =-(
          1
          2
          )n＜0          ，
          故存在唯一的xn∈[
          1
          2
          ，1]          ，滿足fn（xn）=0；
          （2）由（1）知fn（x）在（0，+∞）上遞增，
          ∵fn(xn+1)=-1+xn+1+
          x
          2
          n+1
          2!
          +…+
          x
          n
          n+1
          n!
          ，
          ∴fn+1(xn+1)=-1+xn+1+
          x
          2
          n+1
          2!
          +…+
          x
          n
          n+1
          n!
          +
          x
          n+1
          n+1
          (n+1)!
          =fn(xn+1)+
          x
          n+1
          n+1
          (n+1)!
          =0          ，
          ∴fn(xn+1)=-
          x
          n+1
          n+1
          (n+1)!
          ＜0=fn(xn)          ，
          由（1）知fn（x）在（0，+∞）上遞增，
          故xn+1＜xn，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞減．
          （3）由（2）知數(shù)列{xn}單調(diào)遞減，故xn-xn+p＞0，
          而fn(xn)=-1+xn+
          x
          2
          n
          2!
          +…+
          x
          n
          n
          n!
          =0          ，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+
          x
          2
          n+p
          2!
          +…+
          x
          n
          n+p
          n!
          +
          x
          n+1
          n+p
          (n+1)!
          +…+
          x
          n+p
          n+p
          (n+p)!
          =0          ，
          兩式相減：并結(jié)合xn+p-xn＜0，以及xn∈[
          1
          2
          ，1]          ，得
          xn-xn+p=
          n
          k=2
          x
          k
          n+p
          -
          x
          k
          n
          k!
          +
          n+p
          k=n+1
          x
          k
          n+p
          k!
                      ＜
          n+p
          k=n+1
          x
          k
          n+p
          k!
          ≤
          n+p
          k=n+1
          1
          k!
          ＜
          n+p
          k=n+1
          1
          k(k-1)
                      =
          n+p
          k=n+1
          [
          1
          k-1
          -
          1
          k
          ]=
          1
          n
          -
          1
          n+p
          ＜
          1
          n

          所以有|xn-xn+p|＜
          1
          n
          ．
          點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，對能力要求高．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，給出下列三個結(jié)論：
          ①函數(shù)f2（x）在區(qū)間（
          1
          2
          ，  1          ）內(nèi)不存在零點；
          ②函數(shù)f3（x）在區(qū)間（
          1
          2
          ，  1          ）內(nèi)存在唯一零點；
          ③?n∈N*，且n≥4，函數(shù)fn（x）在區(qū)間(
          1
          2
          ，  1)          內(nèi)存在零點．
          其中所有正確結(jié)論的序號為
          ②③
          ②③
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•陜西）設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
          （1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間(
          12
          ，1)          內(nèi)存在唯一的零點；
          （2）設(shè)n為偶數(shù)，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
          （3）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•鹽城二模）設(shè)函數(shù)fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）．
          （1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
          （2）若對任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范圍；
          （3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值為
          12
          ，求a，b的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)函數(shù)fn(x)=xn(1-x)2在[
          12
          ，1]          上的最大值為an（n∈N+）．
          （1）求a1，a2的值；
          （2）求數(shù)列{an}的通項公式．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
          （Ⅰ）當(dāng)b＞0時，判斷函數(shù)fn（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
          （Ⅱ）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：fn（x）在區(qū)間(
          12
          ，1)          內(nèi)存在唯一的零點；
          （Ⅲ）設(shè)n=2，若對任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范圍．
          

			
          

			
          
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