Question

設函數(shù)fn(x)=xn(1-x)2在[

1

2

，1]上的最大值為a_n（n∈N₊）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求a₁，a₂的值；
（2）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，求最值，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）當n=1時，f1(x)=x(1-x)2，則f1′(x)=(1-x)2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)
當x∈[

1

2

，1]時，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
當n=2時，f2(x)=x2(1-x)2，則f2′(x)=2x(1-x)2-2x2(1-x)=2x（1-x）（1-2x）
當x∈[

1

2

，1]時，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在[

1

2

，1]上單調遞減，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

（2）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵當n≥3時，

n

n+2

∈[

1

2

，1]且當x∈[

1

2

，

n

n+2

)時，f_n'（x）＞0，
當x∈(

n

n+2

，1]時f_n'（x）＜0，故f_n（x）在x=

n

n+2

處取得最大值，
即當n≥3時，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，------（*）
當n=2時（*）仍然成立，
綜上得an=

1 8 ，n=1 4nn (n+2)n+2 ，n≥2

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)列的通項，考查學生的計算能力，屬于中檔題．