Question

設函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：當m＞n＞0時，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞）（1分）
f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）
當a=1時，f′（x）=-ln（x+1）
當x＞0時，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．（4分）
（2）解：①當a=0時，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù) （5分）
②當a＞0時，令，
當f′（x）＞0時，得
所以f（x）的遞增區(qū)間為（7分）
又因為f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增
所以，由此得（8分）
綜上，得（9分）
（3）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證
設，（10分）
則（11分）
由（1）知：即當a=1時，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減，
即x＞0時，有f（x）＜f（0），-------（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，（13分）
即當m＞n＞0時，g（m）＜g（n），
故原不等式成立． （14分）
分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，從而確定f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）先確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增，建立不等式，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)要證明的結論，利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數(shù)，構造函數(shù)，問題轉化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立，利用導數(shù)證明函數(shù)的性質．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數(shù)，是一個綜合題，解題時確定函數(shù)的單調(diào)性是關鍵．