Question

【題目】如圖所示，四棱柱中，底面是以為底邊的等腰梯形，且.

（I）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線AB與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要證明平面平面，只需證明平面即可；

（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)O，易得面ABCD，以O為原點(diǎn)，分別以為的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為與，再利用公式計(jì)算即可.

（Ⅰ）中，，，，由余弦定理得

，

則，即，

而，故平面，

又面ABCD，所以平面平面ABCD.

（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)O，由于，所以，

由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD.

由等腰梯形知識(shí)可得，則，，

以O為原點(diǎn)，分別以為的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

則

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則，有，

所以，，

即直線AB與平面所成角的正弦值為.

【點(diǎn)晴】

本題考查面面垂直的證明、向量法求線面角，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.