Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ，在數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上．

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）記，求.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n，bn＝2n－1；（2）Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

【解析】

(1)利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用錯位相減法求.

(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，

兩式相減得an＝2an－2an－1，即 ＝2(n≥2)，

又a1＝2a1－2，∴a1＝2，

∴{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n.

∵點(diǎn)P(bn，bn＋1)在直線 x－y＋2＝0上，∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，

∴{bn}是以2為公差的等差數(shù)列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.

(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n ①

∴2Tn＝ 1×22＋3×23＋5×24＋… ＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1 ②

①－②得：

－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1

＝2＋2·－(2n－1)2n＋1＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6

∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.