Question

【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在處的切線為，當實數(shù)變化時，求證：直線經(jīng)過定點；

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析. (2).

【解析】分析：(Ⅰ)利用導數(shù)求出切線斜率，點斜式可得切線方程為直線的方程為，可得直線經(jīng)過定點；(Ⅱ)分兩種情況討論的范圍，函數(shù)有兩個極值點等價于有兩個不同的解，分別利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理與函數(shù)圖象，列不等式可篩選出函數(shù)有兩個極值點的實數(shù)的取值范圍.

詳解：(Ⅰ)∵，∴，.

又∵，∴直線的方程為，

∴直線經(jīng)過定點(-2，0).

(Ⅱ)∵，∴.

設(shè)，則.

當時，，即在上單調(diào)遞增，則最多有一個零點，函數(shù)至多有一個極值點，與條件不符；

當時，由，得.

當時，；當時，.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，即.

令，解得.

∵，，∴，

∵在上單調(diào)遞增，∴在上有唯一零點，

當時，；當時，.

∴在上有唯一極值點.

又∵當時，.

設(shè)，其中，則，

∴，∴.

即當時，，

而 ，

∵在上單調(diào)遞減，∴在上有唯一零點，

當時，；當時，.

∴在上有唯一極值點.

綜上所述，當有兩個極值點時，.