Question

如圖，AC 是圓 O 的直徑，點(diǎn) B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C//EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1．

（I）證明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并以此確定、、、四點(diǎn)的坐標(biāo)，通過驗(yàn)證來達(dá)到證明的目的；（Ⅱ）求出平面與平面各自的法向量，利用空間向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.
試題解析：（1），．
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．由已知條件得，，，，，

．
由，
得， ．  
（2）由（1）知，．
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
令得，，，
由已知平面，所以取面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，
則，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．