【題目】已知橢圓
的離心率為
，若橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形中，面積最大為1.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
與橢圓的交于
兩點，
為坐標原點，且
，證明：直線與圓
相切.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）由橢圓上點為短軸端點時所給三角形面積最大可得
，結合離心率和橢圓
的關系，構造方程組求得，進而得到橢圓方程；
（2）①當
的斜率存在時，設方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理的形式；利用垂直關系可得向量數(shù)量積等于零，代入韋達定理的結論整理可得
；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離
，代入可求得
；②當的斜率不存在時，可求得方程，易知其與圓相切；綜合兩種情況可得結論.
（1）
橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形中，面積最大時橢圓上的點為短軸端點
，又
，
橢圓
的標準方程為
（2）設
，
①當的斜率存在時，設
由
得：
則
，
又
，即滿足
到直線的距離
又圓
的半徑
直線與圓相切
②當的斜率不存在時，
所在的兩條直線分別為
與橢圓方程聯(lián)立可求得交點橫坐標為
或
可得到
所在的直線為：
或
直線與圓相切
綜上所述：當
時，直線與圓相切
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系平面
上的一列點
，
，…，
，記為
，若由
構成的數(shù)列
滿足
，
，其中
為與
軸正方向相同的單位向量，則稱為
點列.
（1）判斷
，
，
，…，
，是否為點列，并說明理由；
（2）若為點列.且點
在點
的右上方，（即
）任取其中連續(xù)三點
，
，
判斷
的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并給予證明；
（3）若為點列，正整數(shù)
，滿足
.求證：
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】檳榔原產于馬來西亞，中國主要分布在云南、海南及臺灣等熱帶地區(qū)，在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材，在南方一些少數(shù)民族還有將果實作為一種咀嚼嗜好品，但其被世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構列為致癌物清單Ⅰ類致癌物.云南某民族中學為了解
，
兩個少數(shù)民族班學生咀嚼檳榔的情況，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.
（1）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為
，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為
，求
的概率；
（2）從所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上（包含20顆）的同學中隨機抽取3人，求被抽到班同學人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某工廠有甲，乙兩個車間生產同一種產品，甲車間有工人
人，乙車間有工人
人，為比較兩個車間工人的生產效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對他們中每位工人生產完成的一件產品的事件（單位：
）進行統(tǒng)計，按照
進行分組，得到下列統(tǒng)計圖.
分別估算兩個車間工人中，生產一件產品時間少于
的人數(shù)；
分別估計兩個車間工人生產一件產品時間的平均值，并推測車哪個車間工人的生產效率更高？
從第一組生產時間少于的工人中隨機抽取
人，求抽取人中，至少
人生產時間少于
的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入
，
，則輸出的
等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直四棱柱
中，
，
：
（1）求證：
平面
；
（2）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為
，寫出的解析式；（直接寫出答案，不必說明理由）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設拋物線Γ的方程為y2＝4x，點P的坐標為（1，1）．
（1）過點P，斜率為﹣1的直線l交拋物線Γ于U，V兩點，求線段UV的長；
（2）設Q是拋物線Γ上的動點，R是線段PQ上的一點，滿足
2
，求動點R的軌跡方程；
（3）設AB，CD是拋物線Γ的兩條經過點P的動弦，滿足AB⊥CD．點M，N分別是弦AB與CD的中點，是否存在一個定點T，使得M，N，T三點總是共線？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由．
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