【題目】如圖，已知圓錐底面半徑
，
為底面圓圓心，點Q為半圓弧
的中點，點
為母線
的中點，
與
所成的角為
，求：
（1）圓錐的側(cè)面積；
（2）
兩點在圓錐面上的最短距離.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）取
中點
，連接
，根據(jù)
可得
；根據(jù)垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理和直角三角形中的長度關(guān)系可求得圓錐母線長；根據(jù)扇形面積公式可求得圓錐的側(cè)面積；（2）在圓錐側(cè)面上連接
兩點可知最短距離為直線，將圓錐沿母線
展開，根據(jù)（1）的結(jié)果可知圓心角為
，根據(jù)角度和長度關(guān)系可證得
為等邊三角形，從而求得結(jié)果.
（1）取中點，連接
則 
即為異面直線與
所成角
又
平面
平面
平面 
在
中，
又
圓錐母線長
，即側(cè)面展開扇形半徑
底面圓周長
圓錐的側(cè)面積
即圓錐的側(cè)面積為：
（2）在圓錐側(cè)面上連接兩點的所有曲線中，最短的必為直線
由（1）知，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為
沿母線將圓錐側(cè)面展開，如下圖所示：
則
是半圓弧
的中點 
又
為等邊三角形
即
兩點在圓錐面上的最短距離為：
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間；最大值，以及取得最大值時x的取值集合；
（2）已知
中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若
，求實數(shù)a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】2018年為我國改革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：
年齡段 |
|
|
|
|
人數(shù)（單位：人） | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定：此單位45歲
59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？
（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)？
熱衷關(guān)心民生大事 | 不熱衷關(guān)心民生大事 | 總計 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
總計 | 30 |
（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機抽取2人上臺表演節(jié)目，則抽出的2 人能勝任的2人能勝任才藝表演的概率是多少？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，設(shè)
的定義域為
.
（1）求；
（2）用定義證明
在上的單調(diào)性，并直接寫出在上的單調(diào)性；
（3）若
對一切
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為
（
），則出廠價相應(yīng)地提高比例為
，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為
，已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．
（1）寫出本年度預(yù)計的年利潤
與投入成本增加的比例的關(guān)系式；
（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構(gòu)筑物。建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用，大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它比機力通風冷卻塔維護簡便，節(jié)約電能；但體形高大，施工復(fù)雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設(shè)條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請忽略.）
（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100
，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，
，30，試根據(jù)上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標準方程（為長度單位米）；
（2）試利用課本中推導(dǎo)球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：
，
，繞
軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積多少？（用
表示）.（用積分計算不得分）現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結(jié)構(gòu)，為計算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點處），試計算該冷卻塔內(nèi)殼所在的雙曲線標準方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內(nèi)外殼之間）大約是多少
；（計算時
取3.14159，保留到個位即可）
（3）冷卻塔體型巨大，造價相應(yīng)高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工和輔助機械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設(shè)備等施工費用不在本題計算范圍內(nèi).超高建筑的施工（含人工輔助機械等）費用隨著高度的增加而增加，現(xiàn)已知：距離地面高度30米（含30米）內(nèi)的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面是直角梯形， 
， 
，
，點
在線段
上，且
， 
， 
平面
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）當四棱錐
的體積最大時，求四棱錐
的表面積.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
與
不同四點，直線
的斜率
滿足
．已知當
與
軸重合時，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求出點坐標并求出此定值；若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】試題分析：（1）當
與
軸重合時，
垂直于軸，得
,得
,
從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點，則
點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把
坐標化，可得
點的軌跡是橢圓，從而求得定點
和點
.
試題解析：
當與軸重合時，
, 即
,所以
垂直于軸，得
，
，, 得
,
橢圓
的方程為
.
焦點
坐標分別為
, 當直線
或斜率不存在時，點坐標為
或
;
當直線斜率存在時，設(shè)斜率分別為
, 設(shè)
由
, 得：
, 所以:
，
, 則：
. 同理：
, 因為
, 所以
, 即
, 由題意知
, 所以
， 設(shè)
，則
，即
，由當直線或斜率不存在時，點坐標為或也滿足此方程，所以點在橢圓
上.存在點和點，使得
為定值，定值為
.
考點：圓錐曲線的定義，性質(zhì)，方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應(yīng)用進行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā)，把
坐標化，求得點的軌跡方程是橢圓
，從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)
的兩個零點為
，記
，證明：
．
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