Question

設(shè)橢圓的方程為＋＝1(m、n＞0)，過(guò)原點(diǎn)且傾角為θ和π－θ(0＜θ＜)的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn)． (1) 用θ、m、n表示四邊形ABCD的面積S (2) 若m、n為定值，當(dāng)θ在(0，］上變化時(shí)，求S的最大值u (3) 如果u＞mn，求的取值范圍

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且傾角為的直線方程為y＝xtan可得方程組又由對(duì)稱性，得四邊形ABCD為矩形，同時(shí)0＜＜，所以四邊形ABCD的面積S＝4｜xy｜＝．
(2)	S＝． 　�、佼�(dāng)m＞n，即＜1時(shí)，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0007/0130/e726b321b8647087913488fedd07eb29/C/Image379.gif" width=37 HEIGHT=44>＋m2tan≥2nm，當(dāng)且僅當(dāng)tan2＝時(shí)，等號(hào)成立，所以S＝≤＝2mn． 　　由于0＜≤，0＜tan≤1，故tan＝得u＝2mn． 　�、诋�(dāng)m＜n，即＞1時(shí)，對(duì)于任意0＜1＜2≤，由于(m2tan2＋)－(m2tan1＋)＝(tan2－tan1)． 　　因?yàn)?＜tanl＜tan2≤1，m2tan1tan2－n2＜m2－n2＜0，所以(m2tan2＋)－(m2tan1＋)＜0．于是在(0，)上，S＝ 是的增函數(shù)，故取＝，即tan＝1得u＝． 　　所以u(píng)＝
(3)	�、佼�(dāng)＞1時(shí)，u＝2mn＞mn恒成立． 　�、诋�(dāng)＜1時(shí)，＝＞1，即有()2－4()＋1＜0，所以2－＜＜2＋． 　　又由＜1，得2－＜＜1． 　　綜上，當(dāng)u＞mn時(shí)，的取值范圍為(2＜，1)∪(1，＋∞)． 　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的對(duì)稱性及不等式的應(yīng)用，通過(guò)求最大值來(lái)考查邏輯思維能力和應(yīng)用能力，同時(shí)體現(xiàn)分類討論思想．