Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

（x+1），當(dāng)點P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上移動時，點Q（

x0-t+1

2

，y₀）（t∈R）在函數(shù)y=g（x）的圖象上移動．
（1）若點P坐標為（1，-1），點Q也在y=f（x）的圖象上，求t的值；
（2）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（3）當(dāng)t＞0時，試探求一個函數(shù)h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定義域為[0，1）時有最小值而沒有最大值．

Answer 1

分析：（1）寫出Q點的坐標，代入f（x）的解析式中即可求出t
（2）設(shè)Q（x，y）為y=g（x）的圖象上任意一點，由P和Q點的對應(yīng)關(guān)系，可用x、y表達出P點的坐標，代入f（x）的解析式得到的x和y的關(guān)系即g（x）的表達式．
（3）因為f（x）和g（x）均為以

1

2

為底的對數(shù)函數(shù)，故h（x）也選擇以

1

2

為底的對數(shù)函數(shù)，
由對數(shù)的運算法則使f（x）+g（x）+h（x）化為以

1

2

為底的對數(shù)函數(shù)，在[0，1）上有意義且為減函數(shù)即可．

解答：解：（1）當(dāng)點P坐標為（1，-1），點Q的坐標為(

1-t+1

2

，-1)，
∵點Q也在y=f（x）的圖象上，∴-1=log

1

2

(-1+

t

2

+1)，即t=0．
（根據(jù)函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性求得t=0，請相應(yīng)給分）
（2）設(shè)Q（x，y）在y=g（x）的圖象上
則

x= x0-t+1 2 y=y0

，即

x0=2x+t-1 y0=y

而P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，∴y0=log

1

2

(x0  +1)
代入得，y=g(x)=log

1

2

(2x+t)為所求．
（3）h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

；或h(x)=log

1

2

3 2 -x

2x+t

等．
如：當(dāng)h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

時，
f（x）+g（x）+h（x）=log

1

2

 (x+1)+log

1

2

(2x+t)+log

1

2

1-x

2x+t

=log

1

2

 (1-x2)
∵1-x²在[0，1）單調(diào)遞減，∴0＜1-x²≤1故log

1

2

(1-x2)≥0，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但沒有最大值．

點評：本題考查軌跡法求函數(shù)的解析式、對數(shù)的運算法則、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)問題，考查對開放問題的探求．