Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．
（1）當(dāng)

a

⊥

b

時(shí)，求|

a

+

b

|的值；
（2）求函數(shù)f(x)=

a

•(2

b

-

a

)+cos2x的最大值，并求出f（x）取得最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，可得

a

•

b

=0，然后把所求的式子利用

a2

=|a|變形后，被開(kāi)方數(shù)再利用完全平方公式化簡(jiǎn)，利用

a

2=|

a

|2以及

a

•

b

=0化簡(jiǎn)后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，開(kāi)方可得值；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式先利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算后，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，前兩項(xiàng)提取

2

后，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)這個(gè)角等于2kπ+

π

2

時(shí)，正弦函數(shù)的最大值為1，求出函數(shù)f（x）的最大值，進(jìn)而求出此時(shí)滿足題意的x的集合．

解答：解：（1）當(dāng)

a

⊥

b

時(shí)，

a

•

b

=0，
則|

a

+

b

|=

a 2+2 a • b + b 2

=

sin2x+1+cos2x+ 1 4

=

3

2

；
（2）f（x）=2

a

•

b

-

a

2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x
=sin2x+cos2x-2=

2

sin(2x+

π

4

)-2，
∴當(dāng)sin(2x+

π

4

)=1?2x+

π

4

=

π

2

+2kπ?x=

π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值

2

-2，
此時(shí)x的集合是{x|x=

π

8

+kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的恒等變形，以及三角函數(shù)的最值，要求學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．