Question

已知橢圓（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且與直線(xiàn)l：x-y-1=0交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若右頂點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于，求橢圓方程．
（2）設(shè)△AF₁F₂的重心為M，△BF₁F₂的重心為N，若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，求a²的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓右頂點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于列式求出a的值，結(jié)合已知和b²=a²-c²求出b²，則橢圓的方程可求；
（2）因?yàn)锳，B在直線(xiàn)l：x-y-1=0上，所以設(shè)A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），把直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，由重心坐標(biāo)公式求出M和N的坐標(biāo)，利用原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)得到，代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得a²的取值范圍．
解答：解：（1）由橢圓右頂點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于，得
，解得a=2，由c=1，所以b²=a²-c²=3．
所以橢圓的方程為；
（2）由題意設(shè)A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），
由，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0

∵直線(xiàn)AB：x-y-1=0過(guò)焦點(diǎn)F₂（1，0），
∴△AF₁F₂的重心M（），
△BF₁F₂的重心N（），
因?yàn)樵�點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)，
所以=
=，
解得，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是有一定難度題目．