Question

【題目】數(shù)列{an}首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn與an之間滿足an＝

（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

（3）設(shè)存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).

【解析】

（1）利用與之間的關(guān)系，將an＝轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系式，再整理即可求得；

（2）根據(jù)（1）中所證可得，根據(jù)與的聯(lián)系即可求得；

（3）構(gòu)造數(shù)列，判斷其單調(diào)性，再求最小值即可求得參數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>，故an＝即為

整理可得

故可得，

故數(shù)列{}是以首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，即證.

（2）由（1）可知，故可得

代入an＝，即可得

又當(dāng)時(shí)，不滿足上式，

故

（3）由（1）可知，設(shè)

故可得

故是單調(diào)遞增數(shù)列，則，

要滿足（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k對于一切n∈N*都成立

只需，即可得.

故的最大值為：.