Question

【題目】已知函數(shù)f（x）a（x﹣1）2+（x﹣2）ex（a＞0）．

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）a＝0存在3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2e＜a＜e2或a＞e2．

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并因式分解，令，求出根，對(duì)兩根大小進(jìn)行討論，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）將因式分解，可知是方程的一個(gè)解，因此有2個(gè)實(shí)數(shù)根且，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)利用單調(diào)性和極值即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（1），

，由可得或，

（i）當(dāng)時(shí)，，

在上，單調(diào)遞增，

在上，單調(diào)遞減；

（ii）當(dāng)時(shí)，，在R上恒成立，即在R上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時(shí)，，

在，上，單調(diào)遞增，

在上，單調(diào)遞減；

（2）有3個(gè)實(shí)數(shù)根，

顯然是方程的一個(gè)解，故0有2個(gè)實(shí)數(shù)根且，

即，

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得極小值，，

又，則或．