Question

【題目】橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任作一條直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（I）（II）存在點(diǎn)，使得.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，即可求解的值，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若存在點(diǎn)，由題意，當(dāng)直線(xiàn)和的斜率存在,分別設(shè)為,，

等價(jià)于，直線(xiàn)的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)的方程為.

由 ，得，得，由，即可求得的值。

試題解析：（I）

（II）若存在點(diǎn)，使得，

則直線(xiàn)和的斜率存在,分別設(shè)為,.

等價(jià)于.

依題意，直線(xiàn)的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)的方程為.

由，得.

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.

即，解得.

設(shè)， ,則， ，

令，

當(dāng)時(shí)， ，

化簡(jiǎn)得， ，

所以.

當(dāng)時(shí)，也成立.

所以存在點(diǎn)，使得.