Question

【題目】[選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知直線l過原點(diǎn)且傾斜角為， ，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C 的極坐標(biāo)方程為psin =4cos.

(I)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C 的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)已知直線l過原點(diǎn)且與直線l相互垂直,若lC=-M,lC=N,其中M,N不與原點(diǎn)重合，求△OMN 面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）=,y=4x.（2）16

【解析】試題分析：（1）根據(jù)極角定義得直線l的極坐標(biāo)方程，根據(jù)將曲線C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;（2）先確定直線極坐標(biāo)方程,代入求得，根據(jù)面積公式可得S，最后根據(jù)三角函數(shù)有界性求最小值.

試題解析：解:(I)依題意,直線l的極坐標(biāo)方程為= (≠, ∈R)

曲線C: Sin =4cos,sin =4cos,直角坐標(biāo)方程為y=4x.

(Ⅱ)把θ=代入sin =4cos,得=.

可知直線l的極坐標(biāo)方程為=+ (∈R)

代入sin =4cos,得cos =-4sin,所以=-,

S△=|OM|·|ON|=2||·||=≥16,(當(dāng)且僅當(dāng)=時,取“=”)

即△OMN面積的最小值為16.