Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E為PB中點(diǎn).利用空間向量方法完成以下問題：

（1）求二面角E-AC-D的余弦值；

（2）在棱PD上是否存在點(diǎn)M，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在棱上存在點(diǎn),使，且

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面和的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線得，，

可用表示出點(diǎn)，再利用，求出，滿足即可，即得的值．

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)榈酌?/span>為矩形,所以.因?yàn)?/span>，,所以∥，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,則，

設(shè)平面的法向量為，

所以令，則，所以.

平面的法向量為，則.

如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

（2）在棱上存在點(diǎn),使.設(shè),則.

因?yàn)?/span>,所以.

.因?yàn)?/span>,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在點(diǎn),使，且.