Question

在等邊三角形ABC中，M、N、P分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得面AMN與面MNCB所在二面角的余弦值為

1

3

，則直線AM與NP所成角的大小為（　�。�

• A、90°
• B、60°
• C、arccos

  1

  3

• D、arccos

  3

  3

Answer 1

分析：根據(jù)翻折問(wèn)題遵循的原則：翻折前后在同一個(gè)面上的位置關(guān)系及度量關(guān)系不變，求出各條線段的長(zhǎng)及兩面所成的角，將兩條異面直線賦予向量意義，選出三個(gè)向量作為基底，將異面直線對(duì)應(yīng)的向量用基底表示，求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積，根據(jù)向量垂直的充要條件求出兩條異面直所成的角．

解答：解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，ME=

1

2

MN=

1

4

BC=

1

4

AE=EP=

1

2

AP=

3

4

且AE⊥MN，PE⊥MN
∴∠AEP為面AMN與面MNCB所在二面角的平面角
∴cos∠AEP=

1

3

∵

MA

=

ME

+

EA

，

NP

= 

EP

 -

EN

=

EP

-

ME

∴

MA

•

NP

=( 

ME

+

EA

)•( 

EP

-

ME

)
=

ME

•

EP

+

EA

•

EP

-

ME

2-

EA

•

ME

=

EA

•

EP

-

ME

2
=|

EA|

|

EP

|cos∠AEP-

1

16

=

1

16

-

1

16

=0
∴

MA

⊥

NP

∴直線AM與NP所成角為90°
故選A

點(diǎn)評(píng)：求兩條異面直線所成的角常借助的工具是向量，利用向量的數(shù)量積求出對(duì)應(yīng)向量所成的角，再根據(jù)向量所成的角與異面直線所成角的關(guān)系求出；解決翻折問(wèn)題應(yīng)該先根據(jù)翻折問(wèn)題遵循的原則：翻折前后在同一個(gè)面上的位置關(guān)系及度量關(guān)系不變找出空間圖形的已知條件．