Question

△ABC的三個內(nèi)角為A、B、C，cosA+2cos

B+C

2

的最大值是（　　）

• A、3
• B、0.5
• C、1
• D、1.5

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式與二倍角的余弦公式，化簡可得cosA+2cos

B+C

2

=-2sin²

A

2

+2sin

A

2

+1，再令t=sin

A

2

，研究二次函數(shù)f（t）=-2t²+2t+1在（0，1）上的單調(diào)性，可得當t=

1

2

時，f（t）的最大值為

3

2

，從而可得本題的答案．

解答：解：∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴

B+C

2

=

1

2

（π-A）=

π

2

-

A

2

，可得cos

B+C

2

=cos（

π

2

-

A

2

）=sin

A

2

．
由此可得cosA+2cos

B+C

2

=1-2sin²

A

2

+2sin

A

2

，
令t=sin

A

2

，可得1-2sin²

A

2

+2sin

A

2

=-2t²+2t+1，
∵

A

2

∈（0，

π

2

），∴t=sin

A

2

∈（0，1），
又∵二次函數(shù)f（t）=-2t²+2t+1在（0，

1

2

）上為增函數(shù)，在（

1

2

，1）上為減函數(shù)．
∴當t=

1

2

時，f（t）的最大值為

3

2

．
即sin

A

2

=

1

2

，A=

π

3

時cosA+2cos

B+C

2

的最大值是

3

2

．
故選：D

點評：本題在三角形中求三角函數(shù)表達式的最大值，著重考查了三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的誘導公式、二倍角公式等知識，考查了二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．