Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=-2-t y=2- 3 t

（t為參數(shù)），直線l與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A，B兩點(diǎn)
（1）求|AB|的長(zhǎng)；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2

2

，

3π

4

)，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．

Answer 1

分析：（1）把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得t²+4t-10=0，求出t₁+t₂和t₁•t₂，根據(jù)|AB|=|t₁-t₂|，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為  

t1+t2

2

=-2，由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得 t²+4t-10=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t₁ 和t₂，則  t₁+t₂=-4，t₁•t₂ =-10．     …（3分）
所以|AB|=|t₁-t₂|=2

14

． …（5分） 
（2）易得點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（-2，2），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 

t1+t2

2

=-2．   …（8分）
所以由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為|PM|=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，屬于基礎(chǔ)題．