Question

已知x軸上的兩點A，B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標原點，點在橢圓上，線段PB與y軸的交點M線段PB的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E、F兩點，且，求直線EF的方程．

Answer 1

解：（1）∵線段PB與y軸的交點M線段PB的中點，
∴OM是△PAB的中位線
∵OM⊥AB，∴PA⊥AB
∵點在橢圓上，∴
∴a²=2，b²=1，c²=1
∴橢圓的標準方程為；
（2）設EF：x=my-1（m＞0），代入橢圓方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=，y₁y₂=-2y₂²=
得2（-）²=，
∴m=，m=-（舍去），
直線EF的方程為：x=y-1，即7x-y+7=0．
分析：（1）利用點在橢圓上，線段PB與y軸的交點M線段PB的中點，列出橢圓的三個參數(shù)a，b，c的關系，通過解方程組求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程；
（2）設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關于y的二次方程，利用根與系數(shù)的關系及已知條件中的向量關系找到有關直線方程中的待定系數(shù)滿足的等式，解方程求出直線的方程
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用．解決直線與圓錐曲線的關系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數(shù)的關系找突破口．