Question

（2013•湖北）設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x+1

．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（

b a

），f（

b

a

）是否成等比數(shù)列，并證明f（

b

a

）≤f（

b a

）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱

2ab

a+b

為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，結(jié)合分類討論，即可求得數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）（i）利用函數(shù)解析式，求出f（1），f（

b a

），f（

b

a

），根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；
（ii）利用定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可確定x的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為{x|x≠-1}，f′(x)=

a-b

(x+1)2

∴當(dāng)a＞b＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜b時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）（i）計算得f（1）=

a+b

2

，f（

b a

）=

ab

，f（

b

a

）=

2ab

a+b

．
∵(

ab

)2=

a+b

2

×

2ab

a+b

∴f（1），f（

b a

），f（

b

a

）成等比數(shù)列，
∵a＞0，b＞0，∴

2ab

a+b

≤

ab

∴f（

b

a

）≤f（

b a

）；
（ii）由（i）知f（

b

a

）=

2ab

a+b

，f（

b a

）=

ab

，
故由H≤f（x）≤G，得f（

b

a

）≤f（x）≤f（

b a

）．
當(dāng)a=b時，f（

b

a

）=f（x）=f（

b a

）=f（1）=a，此時x的取值范圍是（0，+∞），
當(dāng)a＞b時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這時有

b

a

≤x≤

b a

，即x的取值范圍為

b

a

≤x≤

b a

；
當(dāng)a＜b時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，這時有

b a

≤x≤

b

a

，即x的取值范圍為

b a

≤x≤

b

a

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查等比數(shù)列，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．