Question

設(shè)點(diǎn)是曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）的距離和它到焦點(diǎn)的距離之和的最小值為.

（1）求曲線C的方程；

（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過作斜率為的直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與交于另一點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在實(shí)數(shù)使命題成立.

【解析】（1）利用拋物線的定義即可求出參數(shù)p，進(jìn)一步求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線直線方程，然后和拋物線方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理和斜率關(guān)系列出關(guān)于斜率的等式，進(jìn)一步求出斜率

解：（Ⅰ）依題意知，解得.

所以曲線的方程為. ……………………………4分

（Ⅱ）由題意直線的方程為：，則點(diǎn)

聯(lián)立方程組，消去得

得.…………………………………………………6分

所以得直線的方程為.

代入曲線，得.

解得.………………………………………………8分

所以直線的斜率……………10分

過點(diǎn)的切線的斜率.由題意有.

解得.故存在實(shí)數(shù)使命題成立.…………………12分