Question

（2013•棗莊二模）已知函數(shù)f（x）=2f′（1）e^x-1-x，e≈2.7．
（1）已知函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x∈[

1

2

，+∞)，

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把原函數(shù)求導，在導函數(shù)中取x=1得到f^′（1）的值，則函數(shù)解析式可求，由導函數(shù)分別大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1，分離變量a后構造輔助函數(shù)g（x）=

ex-1

x

(x≥

1

2

)，利用導函數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值，則實數(shù)a的取值范圍可求．

解答：解：（1）對f（x）求導，得f^′（x）=2f^′（1）e^x-1-1．
令x=1，得f^′（1）=2f^′（1）-1，解得f^′（1）=1．
從而f（x）=2e^x-1-x．
f^′（x）=2e^x-1-1．
f^′（x）＞0?2e^x-1-1＞0?x-1＞ln

1

2

?x＞1-ln2；
f^′（x）＜0?2e^x-1-1＜0?x＜1-ln2．
所以，f（x）的增區(qū)間為（1-ln2，+∞），減區(qū)間為（-∞，1-ln2）．
（2）當x≥

1

2

時，

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1?

e

2

(2ex-1-x)≥(a-

e

2

)x+1
?e^x≥ax+1?a≤

ex-1

x

．
令g（x）=

ex-1

x

(x≥

1

2

)，則g′(x)=

(x-1)ex+1

x2

．
令h（x）=(x-1)ex+1(x≥

1

2

)，則h^′（x）=xe^x＞0．
所以，函數(shù)h（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h(x)≥h(

1

2

)=1-

e

2

=

4 - e

2

＞0．
所以當x≥

1

2

時，g′(x)=

h(x)

x2

＞0．
所以，g（x）=

ex-1

x

在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增.g(x)min=g(

1

2

)=2(

e

-1)．
由題意，a≤2(

e

-1)．
故所求實數(shù)a的取值范圍是a≤2(

e

-1)．

點評：本題考查了函數(shù)的解析式的求解及常用方法，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的，訓練了分離變量法和構造函數(shù)法求變量的取值范圍，考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解答此題的關鍵是理解原函數(shù)解析式中的f^′（1）為常數(shù)，是難題．