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        1. 已知橢圓C:(a>b>0),其焦距為2c,若(≈0.618),則稱橢圓C為“黃金橢圓”.

          (1)求證:在黃金橢圓C:(a>b>0)中,a、b、c成等比數(shù)列.

          (2)黃金橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F2(c,0),P為橢圓C上的

          任意一點.是否存在過點F2、P的直線l,使l與y軸的交點R滿足?若存在,求直線l的斜率k;若不存在,請說明理由.

          (3)在黃金橢圓中有真命題:已知黃金橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別是F1(-c,0)、F2(c,0),以A(-a,0)、B(a,0)、D(0,-b)、E(0,b)為頂點的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點F1、F2

          試寫出“黃金雙曲線”的定義;對于上述命題,在黃金雙曲線中寫出相關的真命題,并加以證明.

          答案:
          解析:

            (1)證明:由,得,故a、b、c成等比數(shù)列.(4分)

            (2)解:由題設,顯然直線l垂直于x軸時不合題意,設直線l的方程為,

            得,又,及,得點的坐標為,(6分)

            因為點在橢圓上,所以,又,得,,故存在滿足題意的直線,其斜率.(10分)

            (3)黃金雙曲線的定義:已知雙曲線,其焦距為,若(或?qū)懗?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2103/0022/308fc2ce0a6bb53c35914ceb1fba949b/C/Image56.gif" width=68 HEIGHT=41>),則稱雙曲線為“黃金雙曲線”.(12分)

            在黃金雙曲線中有真命題:已知黃金雙曲線的左、右焦點分別是、,以、、為頂點的菱形的內(nèi)切圓過頂點.(14分)

            證明:直線的方程為,原點到該直線的距離為,將代入,得,又將代入,化簡得,故直線與圓相切,同理可證直線、均與圓相切,即以為直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓,命題得證.(16分)


          練習冊系列答案
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          已知橢圓C:=1(a>b>0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長為2,過橢圓C的右焦點且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的,求橢圓C的方程.

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          已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

          (1)求橢圓C的方程;

          (2)當△AMN的面積為,k的值.

           

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          (A) (B) (C) (D)

           

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          (本題滿分14分)

          已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為3.

          (1)求橢圓C的方程;

          (2)過橢圓C上的動點P引圓O:x2+y2=b2的兩條切線PA、PB,A、B分別為切點,試探究橢圓C上是否存在點P,由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

           

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          (本小題滿分12分)

          已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為短軸一個端點到右焦點的

          距離為.

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;    

          (Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點O到直線l的距離為,求△AOB面積的

          最大值.

           

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