Question

如圖，O是半徑為1的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點，

⑴求點E、F在該球面上的球面距離；

⑵求平面OEF與平面OBC所成的銳二面角．(用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

答案：
解析：

解：⑴解法一：如圖，證明0M＝0N＝MN＝AB＝BC＝AC，從而∠MON＝ 　　∴點E、F在該球面上的球面距離為． 　　解法二：如圖，補(bǔ)形易證：∠EOF＝∠GOH＝． 　　解法三：其實，易證：∠EOF＝． 　　解法四：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易知E(，0，)、F(0，，) 　　∴，從而∠EOF＝　　　　　　6分 　　⑵解法一：如圖，取BC中點P，連接AP交MN與Q，則易證，∠POQ就是所求二面角的平面角． 　　在三角形OPQ中，OP＝，PQ＝OQ＝AP＝，可解得cos∠POQ＝， 　　∴∠POQ＝arcos(＝arctan)．　　　　　　　　　　12分 　　解法二：如圖，補(bǔ)形成正方體去解決． 　　解法三：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系去求解．