Question

設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）當時，求的展開式中二項式系數(shù)最大的項；

（Ⅱ）對任意的實數(shù)，證明 :（是的導函數(shù)）；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】本試題主要考查了二項式定理的運用，以及二項式系數(shù)的最大項的問題，和運用函數(shù)的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運用。

(1)中，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，二項式系數(shù)的最大項取決于冪指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來得到

（2）中利用均值不等式的思想，表示出

和放縮法的思想得到

（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項，這項是

（Ⅱ）證法一：因

證法二：

因

而

故只需對和進行比較。

令，有  由，得

因為當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當時，，

從而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。