Question

（本小題滿分15分）（文）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD//BC，BAD=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點.

（Ⅰ）求證：PB⊥DM；
（Ⅱ） 求CD與平面ADMN所成角的余弦

Answer 1

 
解：方法一：
（Ⅰ）因為N是PB的中點，PA=AB，
所以AN⊥PB。
因為AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
從而PB⊥平面ADMN，
因為DM平面ADMN，
所以PB⊥DM。
（Ⅱ）取AD的中點G，連結(jié)BG、NG，
則BG//CD，
所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN
所成的角相等。
因為PB⊥平面ADMN，
所以∠BGN是BG與平面ADMN所成的角。
在Rt△BGN中，
sin∠BGN==。
故CD與平面ADMN所成的角是arcsin。
方法二：

如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，則
A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，，1），D（0，2，0）。
（Ⅰ）  因為

=0，所以PB⊥DM。
（Ⅱ）   因為  =0，
所以PB⊥AD，
又因為PB⊥DM，
所以PB⊥平面ADMN。
因此的余角即是CD與平面ADMN所成的角
因為
  = ，
所以CD與平面ADMN所成的角為arcsin.

略