Question

已知向量

a

=（1-tanx，1），

b

=（1+sin2x+cos2x，-3），記f（x）=

a

•

b

（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=

6

，其中α∈(0， 

π

2

)，求角α．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的數(shù)量積的坐標運算求得函數(shù)的解析式，并化簡，即可求得其值域及其最小正周期．
（2）由f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=

6

，利用兩角和的正弦公式化簡，得sin(α+

π

4

)=

3

2

，結(jié)合α的范圍，解得角α的值．

解答：解：（1）根據(jù)條件可知：
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=

cosx-sinx

cosx

(2cos2x+2sinxcosx)-3=2（cos²x-sin²x）-3=2cos2x-3
因為f（x）的定義域為{x|x≠kπ+

π

2

， k∈Z}，
∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域為（-5，-1]，f（x）的最小正周期為π．

（2）f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=2cosα-2cos(α+

π

2

)=2(cosα+sinα)=2

2

sin(α+

π

4

)=

6

．
所以，sin(α+

π

4

)=

3

2

，又因為α∈(0， 

π

2

)，所以α+

π

4

=

π

3

或α+

π

4

=

2π

3

，
所以α=

π

12

或α=

5π

12

．

點評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，向量的數(shù)量積運算，以及三角函數(shù)的化簡求值，在求函數(shù)的值域時注意函數(shù)的定義域，是個中檔題．