Question

【題目】把邊長(zhǎng)為6的等邊三角形鐵皮剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器(不計(jì)接縫)，設(shè)容器的高為,容積為．

（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；

（2）求當(dāng)為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），定義域?yàn)?/span>．（Ⅱ）容器高為時(shí)，容器的容積最大為.

【解析】

試題（Ⅰ）根據(jù)容器的高為x，求得做成的正三棱柱形容器的底邊長(zhǎng)，從而可得函數(shù)V（x）的解析式，函數(shù)的定義域；（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)V（x）在區(qū)間上的最大值點(diǎn)，先求V（x）的極值點(diǎn)，再確定極大值就是最大值即可

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯母邽?/span>x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長(zhǎng)為

則.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（Ⅱ）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn).

先求的極值點(diǎn).

在開區(qū)間內(nèi)，

令，即令，解得.

因?yàn)?/span>在區(qū)間內(nèi)，可能是極值點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

因此是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，

所以是的最大值點(diǎn)，并且最大值

即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為.